当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度J呈指数衰减
J
=
J
0
exp
(
−
x
δ
)
{\displaystyle J=J_{0}\exp(-{x \over \delta })}
其中，
J
0
{\displaystyle J_{0}}
是导体表面的电流密度，
x
{\displaystyle x}
表示电流与导体表面的距离，
δ
{\displaystyle \delta }
是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数，称为集肤深度（skin depth）。
δ
=
2
ρ
ω
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}}
其中：
ρ =导体的电阻率
ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
μ = 导体的磁导率 =
μ
0
⋅
μ
r
{\displaystyle \mu _{0}\cdot \mu _{r}}
，其中
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是真空磁导率，
μ
r
{\displaystyle \mu _{r}}
是导体的相对磁导率
对于很长的圆柱形导体，比如导线来说，如果它的直径
D
{\displaystyle D}
比
δ
{\displaystyle \delta }
大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为
δ
{\displaystyle \delta }
的圆柱导体对直流电的电阻。
R
=
ρ
δ
(
L
π
(
D
−
δ
)
)
≈
ρ
(
L
π
D
δ
)
{\displaystyle R={{\rho \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho }\left({L \over {\pi D\delta }}\right)}}
其中：
L=导线的长度
D=导线直径
具体来说，假设
I
(
r
)
{\displaystyle I(r)}
是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流，
I
{\displaystyle I}
为截面上的总电流，那么有：
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。
圆柱形导体的模型
编辑
考虑一个半径为a，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是时变场，则在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组，
麦克斯韦-法拉第方程：
∇
×
E
=
−
i
ω
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }
麦克斯韦-安培方程：
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
其中：
E是电场强度
B是磁感应强度
J是电流密度
μ是导体的磁导率
在导体中，欧姆定律的微分形式为：
J
=
σ
E
{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }
σ是导体的电导率。
我们假设导体是均匀的，于是导体各处的μ和σ都相同。于是有：
∇
×
J
=
−
i
ω
σ
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }
∇
×
B
=
μ
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系(r, θ, z)（z为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随z轴前进，由对称性，电流密度是一个只和r有关的函数：
J
=
(
0
0
j
(
r
)
)
{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}}
取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度，就有：
∇
×
(
∇
×
J
)
=
−
i
ω
σ
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )}
也就是：
∇
d
i
v
J
−
Δ
J
=
−
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
由之前对电流密度的假设，
d
i
v
J
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0}
，因此有：
Δ
J
=
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
写作：
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
1
r
d
j
d
r
(
r
)
=
i
ω
σ
μ
j
(
r
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}
令
k
2
=
i
ω
σ
μ
{\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu }
，再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程：
r
2
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
r
d
j
d
r
(
r
)
−
r
2
k
2
j
(
r
)
=
0
{\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}
在进行代换
ξ
=
i
k
r
{\displaystyle \xi =i\,k\,r}
后，方程变为一个齐次的贝塞尔方程：
ξ
2
d
2
j
d
ξ
2
(
ξ
)
+
ξ
d
j
d
ξ
(
ξ
)
+
ξ
2
j
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}
由电流密度在r = 0的连续性，方程的解具有
J
0
(
ξ
)
{\displaystyle J_{0}(\xi )}
的形式，其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是：
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
i
k
r
)
{\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)}
其中j0是一个常数，k为：
k
=
i
ω
σ
μ
=
1
+
i
2
ω
σ
μ
=
1
+
i
δ
{\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}}
其中δ是集肤深度，
δ
=
2
ω
σ
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}}
，
i
k
=
−
1
+
i
δ
=
e
i
3
π
/
4
2
δ
{\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}}
最后，电流密度为：
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
=
j
0
(
b
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
b
e
i
(
2
r
δ
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}}
其中ber和bei是0阶的开尔文-贝塞尔函数。
于是通过整个截面的电流总和就是：
I
=
∫
0
a
j
(
r
)
2
π
r
d
r
=
2
π
j
0
∫
0
a
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
r
d
r
=
π
δ
2
j
0
∫
0
2
a
/
δ
(
b
e
r
(
x
)
+
i
b
e
i
(
x
)
)
x
d
x
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}}
记Ber和Bei为相应的原函数：
B
e
r
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
r
(
x
′
)
x
′
d
x
′
et
B
e
i
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
i
(
x
′
)
x
′
d
x
′
{\displaystyle Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }}
便有如下更简洁的形式：
I
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
)
{\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)}
我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和：
I
(
r
)
=
∫
a
−
r
a
j
(
r
′
)
2
π
r
′
d
r
′
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}
于是有电流的分布函数：
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
一般来说，在给定的频率下，使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是：
D
W
=
200
m
m
f
/
H
z
{\displaystyle D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}}
以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线，交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。